CARF-säätiö perustettiin 14. helmikuuta 1989. Muutamaa vuotta aiemmin, vuonna 1984, Johannes Paavali II kannusti autuaaksi siunattua Alvaro del Portilloa perustamaan Roomaan Pyhän Ristin paavillisen yliopiston, jonka tarkoituksena oli edistää seminaarilaisten, hiippakuntapappien ja uskonnollisten miesten ja naisten älyllistä, inhimillistä ja hengellistä huippukoulutusta mistä tahansa maailman maasta, ilman että heidän taloudellinen kapasiteettinsa olisi esteenä.
Navarran yliopiston kirkollisissa tiedekunnissa oli työskennelty jo vuodesta 1951 lähtien.
Säätiö osallistuu taloudellisesti siihen, että papit ja seminaarilaiset eri puolilta maailmaa saavat vankan teologisen, inhimillisen ja hengellisen valmistuksen.
Pappien kouluttaminen oli läsnä Opus Dein perustajan, pyhän Josemaría Escrivá de Balaguerin apostolisessa ja papillisessa innossa. Hänen seuraajansa, autuas Alvaro del Portillo, toteutti tämän toiveen aloittamalla vuonna 1984 Roomassa nykyisen Pyhän Ristin paavillisen yliopiston toiminnan pyhän Johannes Paavali II:n innoittamana ja kannustamana.
CARF-säätiö on yksityinen kulttuurisäätiö, jolla on hyväntekeväisyysluonne. Kulttuuriministeriö on tunnustanut sen 22.5.1989 annetun ministeriön asetuksen mukaisesti, joka on julkaistu 13.6.1989 BOE:ssä, ja se on rekisteröity numerolla 140 CIF:ssä: G-79059218.